Готовимся к олимпиадам

Популяризатор математики Дьёрдь Пойа в конце книги "Как решать задачу" привел следующую интересную обобщенную схему решения любой  задачи:

Как решать задачу

Приведем рекомендации для решения нестандартных задач.

I. Рекомендация первого уровня: "Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную" (Д. Пойа Как решать задачу, стр.202)

Переформулируем эту рекомендацию более детальным способом: "Если не можешь решить задачу своим обычным способом, то: 1 шаг. Придумай и реши похожую, но более простую. 2 шаг. Используй ее решение для решения основной."

Рассмотрим примеры: Задача 1. 10 котов и собак съели 54 сосиски. Каждая собака съела по 6 сосисок, а каждый кот - по 5. Сколько было котов и сколько собак?

1 шаг. Трудность составляет, что коты едят по 5 сосисок, а собаки - по 6. Пусть все животные будут котами, тогда они должны съесть 50 сосисок. 2 шаг. Во вспомогательной задаче у нас получилось 50 сосисок, но сосисок-то было 54.

Окончательное решение. 'Если бы все животные были котами, то они бы съели 50 сосисок, а т. к. было съедено 54 сосиски, а каждая собака съедает на одну сосиску больше, чем кот, значит собак было 4, а котов 6.

Задача 2. На шахматной доске 8x8 стоит 31 пешка. Доказать, что найдется уголок из трех клеток, на котором не стоит пешка.

1 шаг. Доска очень большая. Уменьшим ее до размеров 2 х 2 и прикинем, сколько там должно быть пешек, чтобы задача имела решение. Таким образом, сформулирована похожая задача: На шахматной доске 2x2 стоит 1 пешка. Доказать, что найдется уголок, склеенный из трех клеток, на котором не стоит пешка. Доказательство сводится к элементарному перебору четырех вариантов.

2 шаг. Попробуем найти на большой доске маленькую с одной пешкой. Для этого разобьем большую доску на кусочки размером 2x2. Таких кусочков будет 16. А пешек 31.

Окончательное решение. Если в каждый квадратик размером 2x2 мы будем ставить по 2 пешки, то их не хватит, т. к. всего тогда понадобится 32 пешки. В один из таких квадратиков придется поставить всего 1 пешку. А это сразу обеспечит существование искомого варианта с трехклеточным пустым уголком.

Задача 3. Червяк ползет по стеблю, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки стебля, высота которого равна 75 см? 1шаг. Стебель очень длинный, укоротим его, придумав похожую задачу: Червяк ползет по стеблю, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки стебля, высота которого равна 5 см?

Ответ очевиден - через половину суток.

2 шаг. Будем понемногу увеличивать высоту стебля. Пусть его высота станет равной 6 см. Для ее преодоления понадобится 1,5 суток. Значит, каждый дополнительный сантиметр высоты (свыше 5 см) увеличивает срок подъема на одни сутки.

Окончательное решение. На высоту 70 см червя поднимется за 70 суток, а потом за половину суток поднимется на 5 см.

Ответ: через 70,5 суток.

ІІ. Рекомендации второго уровня: Как придумать похожую задачу. Ограничим эту рекомендацию пятью правилами, которым можно дать такие названия: "простое", "очередное", "неизвестное", "интересное", "временное".

"Простое" правило: не пропустить самую простую задачу. Как правило, самую простую задачу не замечают. А начинать стоит именно с нее. Целесообразно задавать себе контрольный вопрос: "А нельзя ли еще больше упростить задачу по этому условию?"

Задача 1. Из квадрата клетчатой бумаги 16 х 16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на уголки, состоящие из трех клеток.

1 шаг. Квадрат очень большой. Рассмотрим для начала квадрат 4 х 4. Но есть еще меньший квадрат - именно он будет фигурировать в нашей вспомогательной задаче: Из квадрата клетчатой бумаги 2x2 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на уголки, состоящие из трех клеток. Очевидно, что после удаления любой клетки из квадрата 2x2, останется уголок из трех клеток. Теперь рассмотрим квадрат 4-к 4, разобьем его на 4 квадрата 2 х 2. В одном из них будет вырезана одна клетка, а три целых можно разрезать на уголки, состоящие из трех клеток, например, так, как показано на рисунке.

Квадрат 8x8 разбиваем на 4 квадрата 4 х 4 и повторяем наши рассуждения. "Очередное" правило: условия по возможности надо менять по очереди. ИХ все равно конечное число, так что до всех рано или поздно доберемся.

Задача 2. Рубик разрубает свой кубик 3 х 3 х 3 на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором, чтобы это сделать, если наложения кусков кубика друг на друга при разрубании разрешены?

1 шаг. Задача сложна из-за того, что разрубаемая фигура имеет большие размеры. Уменьшим одно измерение до 1, превратив куб в параллелепипед и тем самым, сводя исходную задачу к следующей: Рубик разрубает свой прямой параллелепипед размером 3 х 3 х 1 на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором, если разрешается накладывать фигуры друг на друга?

Фигура, остается сложной. Представим себе, что еще одно измерение сократилось до 1, т. е. перед нами полоска 3x1x1. Рубик разрубает "полоску" размером 3 х 1 х 1 на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором? Двух ударов достаточно, меньше не получается.

2 шаг. Как же перейти от этой задачи к предыдущей? Надо разрубить прямой параллелепипед на три "полоски" размером 3x1x1. Для этого необходимо два удара. Еще 2 требуются, как мы знаем, чтобы справиться с "полосками". Меньше не получится, поскольку центральный квадратик нужно обрубить с четырех сторон.

Наконец, мы доходим до первоначальной задачи. Теперь мы видим ее решение. Двумя ударами разрезаем кубик на параллелепипеды 3x3x1. Наложив их друг на друга, еще двумя ударами получаем "полоски" 3x1x1. Еще два удара на собранные вместе полоски — и маленькие кубики получены. Итак, потребуется 6 ударов.

Но мы не всегда можем свободно менять параметры по одному. Иногда изменение одного параметра требует неизбежного изменения одного или нескольких других. И как их менять, неясно. Специально для этого случая разработано особое правило.

"Неизвестное" правило: изменив одно условие, другое, связанное с ним обозначьте за х так, чтобы вспомогательная задача решалась при данном значении х и не решалась при увеличении х на 1.

Задача 3. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

1 шаг. Мальчиков много. Пусть их будет меньше. Трое мальчиков нашли х грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну. Для доказательства установим, при каких л: задача имеет решение. При х = 0, х = 1, х = 2. При х = 3 решения нет, потому что 3 = 0+1+2. Сформулируем следующую похожую задачу. Трое мальчиков нашли 2 гриба. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Пусть все три мальчика нашли разное количество грибов. Тогда минимальное число грибов равно 3, поскольку 3 = 0+1+2, но по условию число грибов меньше 3, поэтому два мальчика нашли одинаковое число грибов.

При решении исходной задачи рассуждения точно такие же. Пусть все пять мальчиков нашли разное число грибов. Минимальное число грибов тогда должно равняться 10 (10 = 0+1+2+3+4). Но по условию число грибов меньше 10, поэтому двое мальчиков нашли одинаковое число грибов.

"Интересное" правило: делайте условия задачи более интересными, обнуляйте их, делайте равными друг другу, приравнивайте к единице, увеличивайте симметрию и т. д.

Задача 4. Основание пирамиды Хеопса - квадрат, а ее боковые грани -равнобедренные треугольники. Буратино лазил наверх и изменил угол грани при вершине. Получилось 100°. Может ли так быть?

1 шаг. Будем придумывать похожую задачу, меняя высоту пирамиды: Основание пирамиды - квадрат, а ее боковые грани – равнобедренные треугольники, высота - нулевая. Буратино никуда не лазил и, измерив угол грани при вершине, получил 100°. Может ли так быть?

Не может, так как речь фактически идет об углах, образованных диагоналями квадрата. Они равны 90°.

2 шаг. А что будет, если увеличивать высоту пирамиды? Углы при вершине у боковых граней будут только увеличиваться, поэтому угол в 100° получить нельзя.

"Временное" правило: если в задаче идет какой-то процесс, и конечное состояние более определено, чем начальное, стоит запустить время в обратную сторону: рассмотрим последний шаг процесса, потом предпоследний и т. д.

Задача 5. Над озерами летели лебеди. На каждом садилась половина лебедей и еще пол-лебедя, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было лебедей?

1 шаг. Идет процесс, начальное состояние не определено, конечное - нулевое, т. е. не стало летящих лебедей. Запускаем время в обратную сторону, придумав такую задачу: Над озерами летели лебеди. На каждом взлетало пол-лебедя и еще столько, сколько теперь летело. Все взлетели с семи озер. Сколько было лебедей? Решение этой задачи совпадает с решением исходной.

III. Рекомендации третьего уровня: как использовать похожую задачу.

Решение вспомогательной задачи для решения основной можно задействовать одним из трех способов: а) используя ответ; б) заимствуя решение; в) копируя план решения. Возможны произвольные комбинации указанных выше способов.

Использование ответа. От вспомогательной задачи мы берем только ответ, переносим его по аналогии на основную, А потом обосновываем его корректность совершенно независимо от решения вспомогательной задачи. Таким образом, вспомогательная задача может быть решена как угодно, даже не полностью, нам от нее нужен только результат.

Корректность ответа для основной задачи обосновывается обычно прямой проверкой, а далее или демонстрацией того, что других решений нет, или процедурой порождения новых решений на основе указанного.

Задание 1. Решите уравнение 1 шаг. Трудность создают знаменатели дробей. Перевернем дроби, заменив их обратными. Тогда вспомогательная задача будет иметь вид:

13х2 + 7 ∙ 13 + 7х6 + 7 ∙13 = 2 ∙ 7 ∙ 13 13х2 +7х6= 0 х2(13 +7х4) = 0 х2 = 0 х = 0

Подстановкой убеждаемся, что х = 0 корень и первоначального уравнения. 2 шаг. Если х ≠ 0, то обе дроби в левой части будут меньше 1, а их сумма меньше 2, следовательно, других решений нет.

Использование решения В данном случае решение вспомогательной задачи является частью решения основной. Способ решения вспомогательной задачи роли не играет, главное, чтобы она была решена.

Задача 2. Кузнец подковывает одно копыто за 5 мин. Сколько времени потребуется 8 кузнецам, чтобы подковать 10 лошадей (лошадь не умеет стоять на двух ногах)?

1 шаг. Лошадей и кузнецов слишком много, уменьшим пропорционально их количества, составив задачу: Кузнец подковывает одно копыто за 5 мин. Сколько времени потребуется 4 кузнецам, чтобы подковать 5 лошадей? Ясно, что минимально возможное время - 25 минут, но может ли оно быть достигнуто? Необходимо организовать работу кузнецов без простоев. Будем действовать, не нарушая симметрии. Расположим 5 лошадей по кругу. После того, как четверо кузнецов подкуют каждый одно копыто лошади, кузнецы сдвинутся на одну лошадь по кругу. Чтобы обойти полный круг, потребуется 5 тактов работы по 5 минут. Во время 4 тактов каждая лошадь будет подковываться, а один такт - отдыхать. В итоге, все лошади будут подкованы за 25 минут.

2 шаг. Возвращаясь к исходной задаче, заметим, что 8 = 2 - 4, а 10 = 2 5. Тогда всех кузнецов можно разбить на 2 бригады по 4 человека в каждой, а лошадей на 2 табуна по 5 лошадей в каждом. За 25 минут первая бригада подкует первый табун, а вторая - второй. Использование плана решения В этом случае решение основной задачи строится по аналогии с решением вспомогательной. При этом некоторые ключевые слова заменяют аналогичными. В этом случае способ решения вспомогательной задачи чрезвычайно важен. И надо рассматривать как можно больше различных вариантов решения вспомогательной задачи.

Задачи

Основная

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Решение.

Рассмотрим остатки от деления на 11. Их всего 11, а чисел у нас 12, значит, какие-то два из этих чисел дают одинаковые остатки при делении на 11. Следовательно, их разность делится на 11 без остатка.

Вспомогательная

Дано 3 целых числа. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 2.

Решение.

Рассмотрим остатки от деления на 2. Их всего 2, а чисел у нас 3. Значит, какие-то два из этих чисел дают одинаковые остатки при делении на 2. Следовательно, их разность делится на 2 без остатка.

Данный способ сведения к аналогичной задаче приходится применять чаще остальных.